Paradoja de Arrow

El Teorema de Imposibilidad de Arrow, también llamado Paradoja de Arrow y, con escasa precisión, Teorema de la Imposibilidad de la democracia, demuestra que no es posible diseñar reglas para la toma de decisiones sociales o políticas que obedezcan a un cierto conjunto de criterios "razonables".

Fue enunciado y demostrado por primera vez por el Premio Nobel de Economía Kenneth Arrow, como parte de su tesis de doctorado Social choice and individual values, y popularizado en su libro del mismo nombre editado en 1951. El artículo original, A Difficulty in the Concept of Social Welfare, fue publicado en The Journal of Political Economy, Vol. 58(4), pp. 328-346, en Agosto de 1950.

Enunciado simplificado del Teorema

El Teorema de Imposibilidad de Arrow establece que una sociedad necesita acordar un orden de preferencia entre diferentes opciones. Cada individuo en la sociedad tiene su propio orden de preferencia personal. El problema es encontrar un mecanismo general (una función de selección social) que transforme el conjunto de los órdenes de preferencia individuales en un orden de preferencia para toda la sociedad, el cual debe satisfacer varias propiedades deseables:

• Dominio no restringido o universalidad: la función de selección social debería crear un orden completo por cada posible conjunto de órdenes de preferencia individuales (el resultado del voto debería poder ordenar entre sí todas las preferencias y el mecanismo de votación debería poder procesar todos los conjuntos posibles de preferencias de los votantes)
• No-imposición o soberanía del ciudadano: cada orden de preferencia de la sociedad debe ser realizable por algún conjunto de órdenes de preferencia individuales. (Cada resultado debe ser realizable de alguna forma).
• Ausencia de dictadura: la función de selección social no debería limitarse a seguir el orden de preferencia de un único individuo ignorando a los demás.
• Asociación positiva de los valores individuales y sociales o monotonía: si un individuo modifica su orden de preferencia al promover una cierta opción, el orden de preferencia de la sociedad debe responder promoviendo esa misma opción o, a lo sumo, sin cambiarla, pero nunca degradándola. (Un individuo no debería perjudicar a un candidato al promoverlo).
• Independencia de las alternativas irrelevantes: si restringimos nuestra atención a un subconjunto de opciones y les aplicamos la función de selección social a ellas solas, entonces el resultado debiera ser compatible con el correspondiente para el conjunto de opciones completo. Los cambios en la forma que un individuo ordene las alternativas "irrelevantes" (es decir, las que no pertenecen al subconjunto) no debieran tener impacto en el ordenamiento que haga la sociedad del subconjunto "relevante".
  

El Teorema de Arrow dice que si el cuerpo que toma las decisiones tiene al menos dos integrantes y al menos tres opciones entre las que debe decidir, entonces es imposible diseñar una función de selección social que satisfaga simultáneamente todas estas condiciones.

Se obtiene otra versión del Teorema al reemplazar el criterio de monotonicidad con el criterio de unanimidad:

• Unanimidad o eficiencia de Pareto : si cada individuo prefiere una cierta opción a otra, así lo debe hacer el orden de preferencia social resultante. Esta afirmación es más fuerte, ya que el asumir tanto la monoticidad como la independencia de las alternativas irrelevantes implica la eficiencia de Pareto.

Interpretaciones del Teorema de Arrow

El Teorema de Arrow suele expresarse en lenguaje no matemático con la frase "Ningún sistema de voto es justo". Sin embargo, esta frase es incorrecta o, en el mejor de los casos, imprecisa, ya que haría falta clarificar qué se entiende por un mecanismo de voto justo. Aunque el propio Arrow emplea el término "justo" para referirse a sus criterios, no es en absoluto evidente que así sea.

El criterio más discutido es el de independencia de las alternativas irrelevantes ya que parece excesivamente "fuerte". Y así, con una definición más restringida de "alternativas irrelevantes" que excluya a aquellos candidatos del conjunto de Smith, algunos métodos de Condorcet satisfacen todos los criterios.

En cualquier caso, el Teorema de Arrow es un resultado significativo y con profundas implicaciones en el campo de la Teoría de la decisión.